பகுதி - இ (விரிவான விடையளி)

III. எவையேனும் 10 வினாக்களுக்கு விடையளி. (வினா எண்: 42 கட்டாய வினா) 10 x 5 = 50

29. $S = \{\text{சதுரம், செவ்வகம், வட்டம், சாய்சதுரம், முக்கோணம்}\}$ எனில், பின்வரும் $S$ இன் உட்கணங்களின் உறுப்புகளைப் பட்டியலிடுக.
விடை:
i) நான்கு சம பக்கங்களை உடைய வடிவங்களின் கணம்:
விடை: $\{\text{சதுரம், சாய்சதுரம்}\}$ (இவை இரண்டிற்கும் மட்டுமே 4 பக்கங்களும் சமம்)
ii) ஆரங்களை உடைய வடிவங்களின் கணம்:
விடை: $\{\text{வட்டம்}\}$ (வட்டத்திற்கு மட்டுமே ஆரம் உண்டு)
iii) உட்கோணங்களின் கூடுதல் $180^\circ$ ஆக உடைய வடிவங்களின் கணம்:
விடை: $\{\text{முக்கோணம்}\}$ (முக்கோணத்தின் மூன்று கோணங்களின் கூடுதல் $180^\circ$)
iv) 5 பக்கங்களை உடைய வடிவங்களின் கணம்:
விடை: $\{\}$ அல்லது $\phi$ (கொடுக்கப்பட்ட கணத்தில் 5 பக்க வடிவம் ஏதுமில்லை)

30. $A = \{p, q, r, s\}$, $B = \{m, n, q, s, t\}$ மற்றும் $C = \{m, n, p, q, s\}$ எனில் கணங்களின் சேர்ப்புக்கான சேர்ப்புப் பண்புகளைச் சரிபார்க்க.
விடை:
சரிபார்க்க வேண்டிய பண்பு: $A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C$
LHS (இடதுபுறம்):
$B \cup C = \{m, n, q, s, t\} \cup \{m, n, p, q, s\} = \{m, n, p, q, s, t\}$
$A \cup (B \cup C) = \{p, q, r, s\} \cup \{m, n, p, q, s, t\}$
$A \cup (B \cup C) = \{m, n, p, q, r, s, t\}$ ----- (1)

RHS (வலதுபுறம்):
$A \cup B = \{p, q, r, s\} \cup \{m, n, q, s, t\} = \{m, n, p, q, r, s, t\}$
$(A \cup B) \cup C = \{m, n, p, q, r, s, t\} \cup \{m, n, p, q, s\}$
$(A \cup B) \cup C = \{m, n, p, q, r, s, t\}$ ----- (2)
சமன்பாடு (1) மற்றும் (2) லிருந்து, LHS = RHS என நிரூபிக்கப்பட்டது.

31. வென்படங்களைப் பயன்படுத்தி $A - (B \cup C) = (A - B) \cap (A - C)$ என்பதைச் சரிபார்க்க.
விடை:
(மாணவர்கள் இதற்கான வென்படங்களை 5 படிநிலைகளில் வரைய வேண்டும்)
படி 1: $B \cup C$ க்கான வென்படம் வரைக.
படி 2: $A - (B \cup C)$ க்கான வென்படம் வரைக (இடதுபுற விடை).
படி 3: $A - B$ க்கான வென்படம் வரைக.
படி 4: $A - C$ க்கான வென்படம் வரைக.
படி 5: $(A - B) \cap (A - C)$ க்கான வென்படம் வரைக (வலதுபுற விடை).
முடிவு: படி 2 மற்றும் படி 5 இன் வென்படங்கள் சமமாக இருப்பதால் விதி சரிபார்க்கப்பட்டது.

32. 500 மகிழுந்து உரிமையாளர்களைப் பற்றிய ஆய்வில், 400 பேர் மகிழுந்து $A$-ஐயும், 200 பேர் மகிழுந்து $B$-ஐயும், 50 பேர் இரு வகையான மகிழுந்துகளையும் வைத்துள்ளனர் எனில், இது சரியான தகவலா?
விடை:
மொத்த உரிமையாளர்கள் $n(U) = 500$
$n(A) = 400, \quad n(B) = 200, \quad n(A \cap B) = 50$
சூத்திரம்: $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$
$n(A \cup B) = 400 + 200 - 50$
$n(A \cup B) = 600 - 50 = 550$
ஆனால், குறைந்தது ஒரு மகிழுந்தாவது வைத்திருப்பவர்களின் எண்ணிக்கை ($550$) மொத்த உரிமையாளர்களின் எண்ணிக்கையை ($500$) விட அதிகமாக இருக்க முடியாது ($550 \nleq 500$).
எனவே, இது தவறான தகவலாகும்.

33. $4.863$ ஐ எண் கோட்டில் குறிக்கவும்.
விடை:
(மாணவர்கள் உருப்பெருக்கி முறையில் எண் கோடு வரைய வேண்டும்)
படி 1: 4 க்கும் 5 க்கும் இடையில் உள்ள பகுதியை 10 ஆகப் பிரிக்கவும். $4.8$ ஐக் குறிக்க.
படி 2: $4.8$ க்கும் $4.9$ க்கும் இடையில் $4.86$ ஐக் குறிக்க.
படி 3: $4.86$ க்கும் $4.87$ க்கும் இடையில் $4.863$ ஐக் குறிக்க.

34. $0.4\overline{5}$ என்ற தசம எண்ணை $\frac{p}{q}$ ($p, q \in \mathbb{Z}$ மற்றும் $q \ne 0$) வடிவில் எழுதுக.
விடை:
$x = 0.45555...$ என்க ---- (1)
இருபுறமும் 10 ஆல் பெருக்க:
$10x = 4.5555...$ ---- (2)
சமன்பாடு (1)-ஐ 100 ஆல் பெருக்க:
$100x = 45.5555...$ ---- (3)
சமன்பாடு (3) லிருந்து (2) ஐக் கழிக்க:
$100x - 10x = (45.5555...) - (4.5555...) $
$90x = 41.000... $
$x = \frac{41}{90}$

35. முறுடுகளை இறங்கு வரிசையில் அமைக்க: $\sqrt[3]{5}, \sqrt[4]{7}, \sqrt{3}$
விடை:
இவற்றின் வரிசைகள் 3, 4, 2. இவற்றின் மீ.சி.ம = 12.
அனைத்து முறுடுகளையும் 12-ஆம் வரிசைக்கு மாற்ற வேண்டும்:
$\sqrt[3]{5} = 5^{\frac{1}{3}} = 5^{\frac{4}{12}} = \sqrt[12]{5^4} = \sqrt[12]{625}$
$\sqrt[4]{7} = 7^{\frac{1}{4}} = 7^{\frac{3}{12}} = \sqrt[12]{7^3} = \sqrt[12]{343}$
$\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{6}{12}} = \sqrt[12]{3^6} = \sqrt[12]{729}$
மதிப்புகளை ஒப்பிடுகையில்: $729 > 625 > 343$
எனவே: $\sqrt[12]{729} > \sqrt[12]{625} > \sqrt[12]{343}$
இறங்கு வரிசை: $\sqrt{3} > \sqrt[3]{5} > \sqrt[4]{7}$

36. பகுதியை விகிதப்படுத்துக: $\frac{5+\sqrt{3}}{5-\sqrt{3}}$
விடை:
பகுதியின் இணை முறுடு $(5+\sqrt{3})$ ஆல் தொகுதி மற்றும் பகுதியைப் பெருக்க வேண்டும்:
$= \frac{5+\sqrt{3}}{5-\sqrt{3}} \times \frac{5+\sqrt{3}}{5+\sqrt{3}}$
தொகுதி: $(5+\sqrt{3})^2 = 5^2 + (\sqrt{3})^2 + 2(5)(\sqrt{3}) = 25 + 3 + 10\sqrt{3} = 28 + 10\sqrt{3}$
பகுதி: $(5-\sqrt{3})(5+\sqrt{3}) = 5^2 - (\sqrt{3})^2 = 25 - 3 = 22$
$= \frac{28 + 10\sqrt{3}}{22}$
தொகுதியில் 2 ஐப் பொதுக் காரணியாக வெளியே எடுக்க:
$= \frac{2(14 + 5\sqrt{3})}{22}$
$= \frac{14 + 5\sqrt{3}}{11}$

37. $x^2 - 2x - 8$ என்பது ஒரு செவ்வகத்தின் பரப்பு எனில் $(x+2)$ மற்றும் $(x-4)$ என்பன அவற்றின் பக்கங்களா என்பதைக் காரணித் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்திச் சரிபார்க்க.
விடை:
$P(x) = x^2 - 2x - 8$ என்க.
$(x+2)$ ஒரு காரணியா என அறிய $x = -2$ எனப் பிரதியிடுக:
$P(-2) = (-2)^2 - 2(-2) - 8 = 4 + 4 - 8 = 0$
$(x-4)$ ஒரு காரணியா என அறிய $x = 4$ எனப் பிரதியிடுக:
$P(4) = (4)^2 - 2(4) - 8 = 16 - 8 - 8 = 0$
இரண்டிற்கும் மீதி சுழியாக ($0$) வருவதால் $(x+2)$ மற்றும் $(x-4)$ ஆகியவை பரப்பளவின் காரணிகள் ஆகும். செவ்வகத்தின் பரப்பு = நீளம் $\times$ அகலம் என்பதால், இவை செவ்வகத்தின் பக்கங்கள் ஆகும்.

38. தொகுமுறை வகுத்தல் முறையைப் பயன்படுத்தி $(3x^3 - 4x^2 - 5)$ ஐ $(3x + 1)$ ஆல் வகுத்து ஈவு, மீதி காண்க.
விடை:
$P(x) = 3x^3 - 4x^2 + 0x - 5$ (விடுபட்ட உறுப்பிற்கு 0 சேர்க்கவும்)
வகுக்கும் கோவை $3x + 1 = 0 \Rightarrow 3x = -1 \Rightarrow x = -\frac{1}{3}$

$-\frac{1}{3}$ | $3 \quad -4 \quad \ \ 0 \quad -5$
$\quad \quad $| $\downarrow \quad -1 \quad \ \ \frac{5}{3} \quad -\frac{5}{9}$
$\quad \quad $ ---------------------------
$\quad \quad \quad \ 3 \quad -5 \quad \ \ \frac{5}{3} \quad | -\frac{50}{9}$ (மீதி)

இங்கு ஈவின் கெழுக்கள் $3, -5, \frac{5}{3}$ கிடைத்துள்ளது. இதை 3 ஆல் வகுக்க வேண்டும் (ஏனெனில் $3x+1$-ல் $x$-ன் கெழு 3).
ஈவு = $\frac{1}{3} (3x^2 - 5x + \frac{5}{3}) = x^2 - \frac{5}{3}x + \frac{5}{9}$
மீதி = $-\frac{50}{9}$

39. $(x+y)^2 + 9(x+y) + 20$ ஐக் காரணிப்படுத்துக.
விடை:
$p = (x+y)$ எனப் பிரதியிடுக.
கோவையானது $p^2 + 9p + 20$ என மாறும்.
இதைக் காரணிப்படுத்தினால் (கூட்டினால் 9, பெருக்கினால் 20 வர வேண்டும். எண்கள்: 4, 5)
$= p^2 + 4p + 5p + 20$
$= p(p+4) + 5(p+4)$
$= (p+4)(p+5)$
இப்போது மீண்டும் $p = x+y$ எனப் பிரதியிட:
$= (x+y+4)(x+y+5)$

40. $2x^3 + 6x^2 - 5x + 8$ உடன் எந்தப் பல்லுறுப்புக் கோவையைக் கூட்ட $3x^3 - 2x^2 + 6x + 15$ கிடைக்கும்?
விடை:
தேவையான கோவை $Q(x)$ என்க.
$(2x^3 + 6x^2 - 5x + 8) + Q(x) = (3x^3 - 2x^2 + 6x + 15)$
$Q(x) = (3x^3 - 2x^2 + 6x + 15) - (2x^3 + 6x^2 - 5x + 8)$
$Q(x) = 3x^3 - 2x^2 + 6x + 15 - 2x^3 - 6x^2 + 5x - 8$
$Q(x) = (3-2)x^3 + (-2-6)x^2 + (6+5)x + (15-8)$
தேவையான கோவை = $x^3 - 8x^2 + 11x + 7$

41. $\Delta ABC$ மற்றும் $\Delta DEF$ இல் $AB = DF$ மற்றும் $\angle ACB = 70^\circ$, $\angle ABC = 60^\circ$; $\angle DEF = 70^\circ$ மற்றும் $\angle EDF = 60^\circ$ எனில், முக்கோணங்கள் சர்வசமம் என நிறுவுக.
விடை:
$\Delta ABC$ யில் $\angle A = 180^\circ - (70^\circ + 60^\circ) = 50^\circ$
$\Delta DEF$ யில் $\angle F = 180^\circ - (70^\circ + 60^\circ) = 50^\circ$
இரு முக்கோணங்களையும் ஒப்பிடுகையில்:
1) $\angle ABC = \angle EDF = 60^\circ$
2) $\angle BCA = \angle FED = 70^\circ$
3) $\angle CAB = \angle DFE = 50^\circ$
மேலும், கொடுக்கப்பட்ட பக்கம் $AB = DF$ ஆகும்.
கோ-கோ-ப (ASA) அல்லது கோ-கோ-கோ (AAA) அடிப்படையில் தொடர்புடைய இரு கோணங்களும் ஒரு பக்கமும் சமமாக இருப்பதால், கோ-கோ விதியின்படி $\Delta ABC \cong \Delta DFE$. எனவே முக்கோணங்கள் சர்வசமம் ஆகும்.

42. $3.\overline{45}$ ஐ 4 தசம இடத்திருத்தமாக எண் கோட்டில் குறிக்கவும்.
விடை:
$3.\overline{45}$ இன் 4 தசம இடத்திருத்தம் $3.4545$ ஆகும்.
(மாணவர்கள் உருப்பெருக்கி முறையைப் பயன்படுத்தி 5 எண் கோடுகளை அடுத்தடுத்து வரைய வேண்டும்)
படி 1: 3 மற்றும் 4 க்கு இடையில்.
படி 2: 3.4 மற்றும் 3.5 க்கு இடையில்.
படி 3: 3.45 மற்றும் 3.46 க்கு இடையில்.
படி 4: 3.454 மற்றும் 3.455 க்கு இடையில் 3.4545 ஐக் குறிக்க வேண்டும்.